Преподавание математики

Наши старые знакомые

"Нет силы более могучей, чем знание: человек, вооруженный знаниями, непобедим"

М.Горький.

Цели урока: повторение и отработка навыков раскрытия скобок, приведения подобных слагаемых, решения уравнений и задач с помощью составления уравнений; развитие внимания, памяти, логического мышления; повышение интереса к предмету.

Ход урока:

I. Вступительное слово учителя:

Ребята, посмотрите на тему нашего сегодняшнего урока. Не совсем обычная тема для урока математики, не правда ли? Что бы ответить на вопрос, с какими старыми знакомыми мы сегодня встретимся, предлагаю вам решить анаграмму. Переставьте в слове буквы так, чтобы получилось слово – математический термин:

НЕРУВАНИЕ (ответ – УРАВНЕНИЕ).

Итак, сегодня на уроке мы с вами продолжим работать над уравнениями, которые по праву можем назвать старыми знакомыми. Ведь с уравнениями мы встречались еще в начальной школе. Теперь мы умеем решать уравнения не только на основании связей между компонентами действий, но и с помощью переноса слагаемых из одной части уравнения в другую.

II. Индивидуальная работа

Один учащийся во время математической разминки класса работает у доски над составлением выражения по условию задачи:

• В дачном поселке 38 домов. Из них х домов – одноэтажные, остальные – двухэтажные. Сколько двухэтажных домов в поселке?
• В одном мешке у кг муки, а в другом – на х кг меньше. Сколько кг муки в двух мешках?
• Грузовик привез в магазин с базы 15 ящиков слив по a кг в каждом и 20 ящиков яблок по b кг в каждом. Сколько кг фруктов привезли в магазин?
• 1 м ткани стоит 120 руб. Сколько стоят х м такой ткани?
• В кассе железной дороге продано 182 билет по n руб. и 135 билетов – по (n + 15) руб. Сколько получено денег за все билеты?

III. Математическая разминка.

Ответьте на вопросы:

• Что называется уравнением?
• Что значит решить уравнение?
• Что называется корнем уравнения?
• Какие операции надо уметь выполнять при решении уравнений? (раскрывать скобки, приводить подобные слагаемые, находить корень уравнение)

Проверим, как мы научились выполнять эти операции.

Задания проецируются на доску через кодоскоп

Задание 1. Привести подобные слагаемые:

4х –2 – х;

8х + 5 + 2х – 10х;

–5х + 1 –5.

Задание 2. Раскрыть скобки и привести подобные слагаемые:

2(3х – 5);

15– (5 – 2х);

6х– 6(3 –х).

Задание 3. (Работа с планшетами: каждый ученик пишет свой ответ на планшете и, быстро подняв его, показывает учителю). Вставить пропущенное число, определив логическую связь между уравнением и числом в скобках:

15х + 2 = – 43 (– 3);

27– 9х = – 9 (?);

10х– 5 = 8х + 9; (?).

Задание 4. Найти неизвестное число

3х – 1 = 8;

5х + 4 = 34;

3(5 + х) = 42;

18 – х = ? (ответ: 6. Корни уравнений представляют числовой ряд 3; 6; 9; 12).

Задание 5. Ученик решал задачу, которая начиналась словами: "За три дня в магазине было продано 450 кг яблок". Он составил уравнение: х + 2х + (х + 50) = 450. Восстановите условие задачи и решите ее.

Проверим индивидуальную работу ученика у доски.

IV. Работа в тетрадях.

Нам предстоит решать задачи с помощью составления уравнений. Встречающиеся при этом трудности мы разделили на 3 части: раскрытие скобок, приведение подобных слагаемых, решение уравнений. Раскрытие скобок и приведение подобных слагаемых мы уже повторили, значит, готовы решать уравнения.

Задание 1. (Один ученик с подробным объяснением у доски решает уравнение) Решить уравнение: 25х + 5(4 – 3х) = 3(х + 1) + 10.

Задание 2. (6 уравнений заранее написаны на доске. От каждой колонки вызывается по 1 ученику. Ученики должны решить по одному уравнению и, выбрав из таблицы правильный ответ, рядом со своим уравнением записать соответствующую ему букву):

8х – (7х + 8) = 9;

3(х – 4) = 4(3х + 6);

3(1 – х) = 4х – 11;

3(х + 6) = 2(х – 3);

5х + 3(3х + 7) = 35;

3х – (5 – х) = 11.

Учащиеся класса работают над этими же уравнениями по колонкам. Те учащиеся, которые быстро справились со своим уравнением, приступают к решению следующих уравнений. В результате учащиеся расшифровывают фамилию французского математика.

Историческая справка. Рене Декарт – французский ученый XVII в. Именно Декарт обозначил неизвестную величину уравнения буквой "х". И этим обозначением, введенным в XVII в., мы пользуемся до сих пор.

V. Дифференцированная работа учащихся.

Учащиеся продвинутого (I группа) и основного (II группа) уровней работают самостоятельно на местах по индивидуальным карточкам, учащиеся базового уровня (III группа) работают у доски вместе с учителем.

Задание для учащихся I группы: При каком значении t значение выражения 8t + 3 в три раза больше значения выражения 5t – 6.

Задание для учащихся II группы: Решить уравнение: 8(х – 7) – 3(2х + 9) = 5.

Задания для учащихся III группы:

2х + 3 = х – 6;

2х – 1 = 3х + 6;

3х – 2 = 7х – 14;

2х – 4 = 12 – 6х;

5 – 3х = 4 – 2у.

Учащиеся I и II групп проверяют свои работы с помощью кодоскопа.

VI. Решение задачи.

Решая задачи, вы, наверное, уже заметили, что можно идти 2 путями – "по здравому смыслу", арифметически, или составляя уравнение, алгебраически. И не раз уже убеждались в удобстве последнего способа. В чем же достоинство алгебраического способа? Ответить на этот вопрос попробуем после решения задачи.

Сейчас мы рассмотрим задачу, подробности решения которой вашим сверстником Егором Зиберовым описаны А.П. Чеховым в рассказе "Репетитор".

Задача: Купец купил 138 аршин черного и синего сукна на 540 руб. Спрашивается, сколько аршин он купил того и другого, если синее стоило 5 руб. за аршин, а черное – 3 руб. за аршин.

Рассказ написан более 100 лет назад, но условие задачи нам понятны. Кроме, может быть, слова "аршин". Аршин – это мера длины, существовавшая на Руси с XVI в. Помните:

"Умом Россию не понять,
Аршином общим не измерить:
У ней особенная стать.
В Россию можно только верить."

Ф. Тютчев.

1 аршин = 71,12 см.

Вернемся к нашему герою Егору Зиберову, ученику 7–го класса, который так и не смог решить эту задачу.

Попробуем решить ее по "здравому смыслу", т.е. арифметически.

Если учащиеся затрудняются решить задачу, то решение можно спроецировать с помощью кодоскопа на доску. При этом проецируются только действия без пояснений. Учащиеся решение не записывают, только поясняют устно каждое действие:

3 * 138 = 414 (руб.) – заплатил бы купец, купив только черное сукно.

540 – 414 = 126 (руб.) – на столько рублей купец заплатил больше.

5 – 3 = 2 (руб.) – на столько рублей дороже 1 аршин синего сукна.

126 : 2 = 63 (аршин) – купец купил синего сукна.

138 – 63 = 75 (аршин) – купец купил черного сукна.

Теперь решим эту задачу с помощью уравнения. (На доске разбирается подробное решение задачи):

Пусть х аршин купец купил синего сукна, тогда (138 – х) аршин купил купец черного сукна, 5х руб. стоит все синее сукно, 3(138 – х) руб. стоит черное сукно. Т.к. за все сукно купец заплатил 540 рублей, то можно составить уравнение:

5х + 3(138 – х) = 540.

5х + 414 – 3х = 540

2х = 126

х = 63.

Значит, купец купил 63 аршина синего сукна.

138 – 63 = 75 (аршин) – черного сукна.

Ответ: 63 аршина синего сукна, 75 аршин черного сукна.

Как же проще решить задачу?

VII. Итог урока.

А сейчас я хочу обратить ваше внимание на слова М. Горького, записанные на доске. В справедливости этих слов вы, наверное, убедились. Действительно, знание – большая сила. Егор Зиберов не смог решить задачу – ему не хватило знаний, а мы нашли даже не одно решение.

Учитель объявляет и комментирует поставленные за урок оценки.

Решение уравнений – зачастую дело нетрудное; составление уравнений по данным задачи затрудняет больше. Вы видели сейчас, что искусство составлять уравнения сводится к умению переводить "с родного языка на алгебраический". Но язык алгебры весьма немногословен; поэтому перевести на него удается без труда далеко не каждый оборот родной речи. Уравнения считаются языком алгебры. Этот предмет мы с вами начнем изучать в следующем году. Великий Ньютон в своем учебнике алгебры, озаглавленном "Всеобщая арифметика", писал: "Чтобы решить вопрос, относящийся к числам или к отвлеченным отношениям величин, нужно лишь перевести задачу с родного языка на язык алгебраический".

VIII. Домашнее задание.

Один из таких переводов вы попробуете сделать дома самостоятельно (каждому ученику на карточке выдается текст задачи):

На памятнике древнегреческому математику Диофанту начертано: "Прохожий! Под этим камнем покоится прах Диофанта, умершего в старости. Шестую часть его жизни заняло детство, двенадцатую – отрочество, седьмую – юность. Затем протекала половина его жизни, после чего он женился. Через пять лет у него родился сын, а когда сыну минуло четыре года, Диофант скончался". Сколько лет жил Диофант?