Преподавание математики

Элективный курс по математике на тему Производная и её применение

Данный материал рассчитан для общеобразовательных (универсальных) классов, классов экономического и социального профилей.

Пояснительная записка

Предел, производная… Зачем их изучать? Вероятно, каждому учителю хотя бы раз задавали этот вопрос учащиеся. Сегодня главное в образовании – развитие, формирование общей культуры человека, способного, в частности, самостоятельно добывать и перерабатывать информацию. Одной из основных целей математического образования должно быть воспитание умения математически исследовать явления реального мира. Значит, нужно научить школьников составлять математические модели реальных ситуаций, а для этого они должны владеть математическим языком, описывающим указанные модели. Для математического исследования явлений реального мира особенно важны понятия предела и производной, ведь это – основные понятия языка, на котором «говорит природа». Безусловно, выпускник средней школы должен иметь представления о производной, о ее применении для исследования реальных процессов.

«Начала математического анализа» – единственный раздел изучаемой в школе математики, не относящийся к элементарной математике, дает возможность выпускнику средней школы не только получить представление о математическом анализе как о мощном прикладном аппарате современной математики, но и научиться сознательно им пользоваться при решении целого ряда задач, не поддающихся элементарным методам.

Одной из важнейших областей приложения понятия производной являются экстремальные задачи. Однако производная может быть с успехом использоваться при решении и доказательстве различных уравнений и неравенств. С помощью производной можно производить также оценку числа корней того или иного уравнения. Аппарат дифференциального счисления позволяет решать широкий класс экономических задач.

Практика последних лет говорит о необходимости тщательного и глубокого изучения начала математического анализа в связи с включением этого раздела в контрольно-измерительные материалы государственной аттестации за курс средней школы. Анализ образовательной практики по данному направлению показывает, что значительная часть учащихся испытывает серьезные затруднения по данной теме (анализ ЕГЭ 2007 по Липецкой области). Этому материалу в действующих учебниках уделяется очень мало внимания. Размеры школьного учебника, количество часов, выделяемых на изучение темы, не позволяют показать в полном объеме все многообразие задач, требующих для своего решения функционального похода, научить учащихся глубоко понимать и использовать свойства функции, нет времени изложить историю возникновения этого интереснейшего раздела в школьном курсе математики. Изучая тему «Производная и ее применение», мы подготовим основу дальнейшего обучения в высших учебных заведениях.

Данная тема рассчитана на 16 часов. Формой итоговой отчетности учащихся является деловая игра. Предлагается для учащихся базовой школы. Включенный в программу материал может применяться для разных групп школьников вследствие своей практической направленности. Выявление степени достижения учащимися промежуточных и итоговых результатов производится благодаря использованию практикумов, самостоятельных работ, тестов. Программу курса можно расширить введением уравнения наклонной асимптоты, уравнением нормали, правилом Лопиталя, нахождением угла между графиками функций.

Цель данного курса: ооружить учащихся системой знаний по применению производной и показать широту применения данной темы.

Задачи курса:

• познакомить учащихся с новой математической моделью – производной функции;
• показать физический и геометрический смысл производной для решения физических и геометрических задач;
• показать применение производной для исследования функции и построения ее графика;
• научить отыскивать наибольшие и наименьшие значение непрерывной функции на промежутке, решать задачи на отыскание наибольших и наименьших значений величин;
• показать применение производных при решении уравнений и неравенств, доказательстве неравенств;
• показать несколько примеров приложения методов математического анализа для решения широкого класса экономических задач.

Теоретический и практический материал, запланированный программой курса, способствует формированию познавательного интереса и мотивации к математике, развитию творческих способностей учащихся, развивает навыки работы с учебной и справочной литературой; является возможностью дополнительно подготовить к государственной итоговой аттестации по материалам и в форме ЕГЭ.

Требования к результатам усвоения материала курса

Учащиеся должны

• знать/понимать
  • значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике; широту и в то же время ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе.
• уметь
  • вычислить производные элементарных функций, применяя правила вычисления производных, используя справочные материалы;
  • исследовать в простейших случаях функции на монотонность, находить наибольшие и наименьшие значения функций, строить графики многочленов и простейших рациональных функций с использованием аппарата математического анализа; решать задачи с применением уравнения касательной к графику функции; решать задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке;
• использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для:
  • решения геометрических, физических, экономических и других прикладных задач, задач на нахождение скорости и ускорения, в том числе задач на наибольшее и наименьшее значения с применением аппарата математического анализа.

За основное учебное пособие можно взять учебник для общеобразовательных учреждений по алгебре и началам анализа для 10-11 класса под редакцией Мордковича А.Г.

Содержание курса

Тема 1. Введение.Цели и задачи курса. Историческая справка об открытии производной, об ученых-математиках, внесших огромный вклад в становление и развитие этого раздела математика. Функции одной переменной.

Тема 2.. Понятие о пределе функции в точке. Поведение функции на бесконечности. Асимптоты. Первый замечательный предел. Второй замечательный предел. Сравнение бесконечно малых функций.

Тема 3. Непрерывность функции. Понятие о непрерывности функции. Односторонние пределы. Понятие о точках разрыва и их классификация.

Тема 4. Производная функции. Формулы производных элементарных функций. Правила дифференцирования. Производная сложной функции. Производная обратной функции. Вторая производная.

Тема 5. Физический и геометрический смысл производной. Уравнение касательной к графику. Самостоятельная работа №1.

Тема 6. Применение производной к исследованию функций и построению графиков. Монотонность функции, точки экстремума и экстремумы функции (локальные экстремумы), выпуклости функции, точки перегиба, поведения функции на бесконечности. Общая схема исследования функции.

Тема 7 Наибольшие и наименьшие значение функции. Глобальный экстремум. Алгоритмический подход к нахождению наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке. Решение текстовых, физических и геометрических задач, нахождение наибольших и наименьших значений. Задачи на оптимизацию.

Тема 8. Использование производных при решении уравнений и неравенств, доказательстве неравенств.

Тема 9. Решение экономических задач с использованием производной.

Итоговое занятие. Деловая игра.

Тематическое планирование материала