Преподавание математики

Программа элективного курса Избранные вопросы геометрии: обобщения и применения теоремы Пифагора

Аннотация программы

Элективный курс “Избранные вопросы геометрии: обобщения и применения теоремы Пифагора” является составной частью предпрофильной подготовки и выполняет функции:

• расширения и углубления содержания базисного курса, изучение которого осуществляется на минимальном общеобразовательном уровне, что позволяет получить дополнительную подготовку для сдачи экзамена по математике;
• способствует удовлетворению познавательных интересов в различных областях деятельности человека.

Основной целью курса - является предоставление возможности ученику оценить свой потенциал с точки зрения перспективы дальнейшего обучения в классах технологического и естественнонаучного профиля и повысить уровень его общей математической культуры.

Курс “Избранные вопросы геометрии: обобщения и применения теоремы Пифагора” поможет учащимся:

• в решении широкого класса задач, в которых используется теорема Пифагора и ее обобщения;
• в применении полученных знаний (тех профессий, в которых пригодится практическая направленность задач по геометрии);
• в формировании общекультурной компетентности.

Программа курса по выбору “Избранные вопросы геометрии: обобщения и применения теоремы Пифагора” будет интересна и полезна не только учащимся, которые планируют свое дальнейшее обучение в профильном классе, но и тем, которые не проявляют специального интереса к занятиям математикой, но хотят расширить свой кругозор знаниями о практическом применении математики, научиться анализировать жизненную ситуацию. Этот курс, безусловно, заинтересует учителей математики, поможет им при выборе тематики занятий математического кружка, факультатива, при подготовке учащихся к экзамену по геометрии.

Этот элективный курс станет дополнительным фактором формирования положительной мотивации в изучении математики, а также понимания учащимися философского постулата о единстве мира и осознании положения об универсальности математических знаний.

Программа элективного курса “Избранные вопросы геометрии: обобщения и применения теоремы Пифагора”

Пояснительная записка

Содержание курса имеет определенное отличие от базового курса математики, которое состоит в том, что такой раздел геометрии как “Метрические соотношения в треугольнике” представлен односторонне, не отражены другие точки зрения на доказательство теоремы Пифагора и ее обобщений, а об общекультурном аспекте упоминается вскользь. Мало задач на практическое применение, не рассматриваются решения задач имеющих широкий круг применения в курсах смежных дисциплин.

Элективный курс “Избранные вопросы геометрии: обобщения и применения теоремы Пифагора” направлен на углубление и расширение тем “Теорема Пифагора” и “Обобщенная теорема Пифагора”, на формирование общекультурной компетентности, создание представлений о математике как науке, возникшей из потребностей человеческой практики и развивающейся из них, а также собственных внутренних закономерностей.

Данный элективный курс поможет учащимся познакомятся с любопытными геометрическими и историческими фактами, оригинальными подходами к доказательству и применению теоремы Пифагора, с решением задач имеющих широкий круг применения в курсах смежных дисциплин и практической деятельности человека.

Курс характеризуется рациональным сочетанием логической строгости и геометрической наглядности. Теоретический материал сопровождается: разбором задач, приведены упражнения для самостоятельной работы, вопросы самопроверки, задания для практической работы в среде “Живая геометрия”, темы творческих работ для самостоятельной работы учащихся.

Учащиеся овладевают приемами аналитико-синтетической деятельности при доказательстве теорем и решении задач. Постоянное обращение к наглядности, использование чертежей развивает геометрическую интуицию. Наряду с основной задачей обучения математике - обеспечением прочного и сознательного овладения учащимися системой математических знаний и умений, данный курс предусматривает формирование устойчивого интереса к предмету, выявление и развитие математических способностей, ориентацию на профессии, выбор профиля дальнейшего обучения.

Цели курса:

• помочь повысить уровень понимания и практической подготовки в таких вопросах, как решение геометрических задач;
• помочь осознать степень своего интереса к предмету и оценить возможности овладения им с точки зрения дальнейшей перспективы, показать возможности применения полученных знаний в своей будущей профессии;
• создать в совокупности с основными разделами курса базы для развития способностей учащихся;

Задачи курса:

• убедить в практической необходимости применения геометрического аппарата к решению задач;
• расширить представления учащихся о сферах применения геометрии (не только в естественных науках, но и в технике, производстве, в гуманитарной сфере)
• помочь овладеть рядом технических и интеллектуальных умений на уровне свободного их использования;
• помочь ученику оценить свой потенциал с точки зрения образовательной перспективы.

Данный курс рассчитан на 10 часов, предполагает компактное и четкое изложение теории вопроса, решение задач, самостоятельную работу. В программе приводится примерное распределение учебного времени, включающее план занятий.

Предпочтительны такие формы проведения занятий, как:

• Лекция-беседа
• Лекция с мультимедиа демонстрациями
• Семинар
• Практическая работа в среде “Живая геометрия”
• Итоговая конференция с выставкой творческих работ учащихся.

Разнообразный дидактический материал дает возможность отбирать дополнительные задания для учащихся разной степени подготовки. Все занятия направлены на развитие интереса школьников к предмету, на расширение представлений об изучаемом материале, на решение новых и интересных задач практической направленности.предлагаемая структура занятия

Материал данного курса, безусловно, может использоваться учителем, как на уроках геометрии, так и на занятиях факультатива и кружка в 9 классах с любой степенью подготовленности, способствовать развитию познавательных интересов, мышления учащихся, предоставит возможность подготовиться к сознательному выбору профиля обучения и дальнейшей специализации.

В состав учебно-методического комплекта входят:

1. Учебное пособие для школьников, включающее задачи и упражнения для закрепления знаний и отработки практических навыков, упражнения для самостоятельной работы, тесты, темы творческих работ для самостоятельной работы учащихся.
2. Методическое пособие для учителя с методическими рекомендациями по проведению занятий, решению задач, организации промежуточного и итогового контроля знаний учащихся.
3. Приложения, содержащие дополнительную информацию по данному курсу.

Содержание программы

Тема 1. Теорема Пифагора. Различные способы доказательства теоремы Пифагора (2 ч.)

Предмет, изучению которого посвящен данный курс. Историческая справка. Доказательства теоремы Пифагора, основанные на понятии площади. Алгебраические доказательства.

Занятие 1. Введение. Доказательства теоремы Пифагора, основанные на понятии площади. (1ч).

Доказательство теоремы Пифагора, основанные на использовании равновеликости фигур, аддитивные доказательства, доказательство методом разложения квадратов на равные части; доказательство методом достроения.

Методы обучения: лекция-беседа с использованием приема активного слушания; практическая работа в “Живой геометрии”, обсуждение тем сообщений и рефератов; исследовательский метод обучения, обеспечивающий творческое применение знаний.

Формы контроля: проверка задач самостоятельного решения, творческих заданий.

Занятие 2. Алгебраический метод доказательства теоремы Пифагора. (1 ч).

Методы обучения: лекция, учебная беседа с использованием приема активного слушания; обсуждение тем сообщений и рефератов; выступления, практическая работа в “Живой геометрии”, проектирование собственных задач.

Формы контроля: Выступление учащихся с докладами, проверка рефератов, творческих заданий.

Тема 2. Применения теоремы Пифагора. (3 ч.)

Обратная теорема Пифагора. Пифагоровы числа. Формула Герона. Решение задач.

Занятие 3. Обратная теорема Пифагора. Пифагоровы числа. Решение задач. (1 ч).

Методы обучения: объяснение, выполнение тренировочных упражнений, обсуждение тем сообщений и рефератов; выступления,

Формы контроля: Защита проектов решений задач, самостоятельная работа.

Занятие 4. Формула Герона.

Вывод формулы Герона разными способами. Формула Герона для иррациональных чисел. Решение задач на применение формулы Герона. (1 ч).

Методы обучения: семинар, работа в группах, обсуждение тем сообщений и рефератов; выступления, выполнение тренировочных упражнений.

Формы контроля: проверка рефератов, докладов, проекты решения задач, проверка задач самостоятельного решения.

Занятие 5. Решение задач на применение теоремы Пифагора при геометрических вычислениях; в смежных предметах; в практической деятельности человека. (1 ч).

Методы обучения: объяснение, беседа с активным участием учащихся; проектирование собственных задач, выполнение тренировочных упражнений.

Формы контроля: проверка задач самостоятельного решения, проекты решений задач.

Тема 3. Обобщения теоремы Пифагора.(3 ч.)

Теорема Пифагора, доказанная Евклидом в “Началах”. Обобщение теоремы Пифагора на случай произвольного треугольника (теорема косинусов). Доказательство теоремы Пифагора через отношение площадей подобных фигур. Луночки Гиппократа. Обобщение теоремы Пифагора на случай произвольного треугольника, на двух сторонах которого построены параллелограммы (Теорема Паппа). Стереометрические обобщения теоремы Пифагора для тетраэдров и трехгранных углов.

Занятие 6. Теорема Пифагора, доказанная Евклидом в “Началах”, обобщение теоремы

Пифагора на случай произвольного треугольника (теорема косинусов). Применение теоремы косинусов для решения задач. (1 ч).

Методы обучения: Лекция с мультимедиа демонстрациями объяснение, выполнение тренировочных упражнений, практическая работа в “Живой геометрии”.

Формы контроля: самостоятельная работа, самоконтроль.

Занятие 7. Доказательство теоремы Пифагора через отношение площадей подобных фигур.(1 ч.)

Рассматриваются доказательства теоремы Пифагора через отношение площадей подобных фигур. Луночки Гиппократа. Обобщение теоремы Пифагора на случай произвольного треугольника, на двух сторонах которого построены параллелограммы (Теорема Паппа).

Методы обучения: Лекция с мультимедиа демонстрациями, объяснение, выполнение тренировочных упражнений, практическая работа в “Живой геометрии”.

Формы контроля: проверка задач самостоятельного решения, творческих заданий.

Занятие 8. Стереометрические обобщения теоремы Пифагора для тетраэдров и трехгранных углов. Решение задач. (1 ч).

Методы обучения: лекция-беседа, выполнение тренировочных упражнений.

Формы контроля: проверка задач самостоятельного решения.

Занятие 9-10. Подведение итогов. (2 ч).

Формы контроля: Защита проектов, творческих работ.

Общие методические рекомендации

Данный элективный курс “Избранные вопросы геометрии: обобщения и применения теоремы Пифагора” задает примерный объем знаний, умений и навыков, которыми и должны овладеть школьники.

Учащиеся в ходе освоения данного элективного курса имеют возможность:

• научиться решать задачи более высокой по сравнению с обязательным уровнем сложности;
• овладеть рядом технических и интеллектуальных умений на уровне их свободного использования;
• провести самостоятельный поиск информации, необходимой для подтверждения или опровержения фактов;
• получить дополнительную информацию из материалов, которые либо входят в учебное пособие к курсу, либо могут рассматриваться как сопровождающие курс (видеоматериалы, информация Интернета);
• провести небольшое самостоятельное исследование (индивидуально или в группе).

Средствами для осуществления этой работы являются задания, которые предлагаются в дидактических материалах, а также темы докладов и сообщений на выбор учащихся.

В каждой теме курса имеются задания на актуализацию и систематизацию знаний и способов деятельности, что способствует эффективному освоению предлагаемого курса.

Проверка заданий для самостоятельного решения осуществляется на занятии путем определения способа действий и называния ответа. Проверочные работы рассчитаны на часть урока, задания выбираются по усмотрению учителя, в зависимости от состава слушателей курса и их подготовленности. Данный курс содержит дидактический материал, как для учителя, так и для учащихся.

Для передачи теоретического материала наиболее эффективна школьная лекция, сопровождающаяся беседой с учащимися, демонстрацией видеоматериалов, информацией Интернет-сети.

Помимо традиционного изложения могут быть использованы и такие пути реализации содержания курса, как историко-математический семинар.

Формы занятий предусматривают исследовательскую и проектную деятельность учеников. Например:

• написание сообщений и рефератов на заданную тему,
• проектирование собственных задач по теме,
• создание сценариев для слайд-фильмов о выбранном объекте изучения и т. п.

Роль учителя в осуществлении учебной и проектно-исследова-тельской деятельности учащихся состоит в консультационной работе, а также организации и координации действий, учащихся при выполнении заданий. Ученикам предоставляется возможность самостоятельного выбора объекта изучения, вида отчётных работ, литературы, по которой они будут готовить собственные работы.

Предполагается, что результатами освоения учащимися 9 классов данного курса по выбору, могут стать следующие умения:

Уверенно решать задачи на вычисление, доказательство, исследование;

• использовать математические знания, геометрический и алгебраический материал для описания и решения задач будущей профессиональной деятельности;
• применять приобретённые геометрические представления и алгебраические преобразования для описания и анализа закономерностей, существующих в окружающем мире;
• проводить обобщения и открывать закономерности на основе анализа частных примеров, эксперимента, выдвигать гипотезы и делать необходимые проверки.
• уметь соотносить свою точку зрения с мнением авторитетных источников, находить информацию в разнообразных источниках, обобщать и систематизировать ее;
• уметь ясно и точно выражать свои мысли в устной и письменной речи.

Возможные критерии оценивания

Критерием успешного изучения данного курса может являться степень развития у учащихся интереса к профилю, а также получение оценки “зачтено” (в зачетной книжке) при условии выполнения работы в предложенной учителем форме с соблюдением стандартных требований к оформлению;

• написание реферата,
• творческой работы,
• проекта собственной задачи по теме;
• сценария слайд-фильма на заданную тему.
• Поощряются (школьной грамотой, благодарственным письмом, призом) учащиеся, за:
• инициативно качественно выполненное задание помимо обязательных заданий;
• использование дополнительной литературы или Интернет-технологии;
• инициативную публичную презентацию своей работы в школе или за её пределами (конкурс, смотр, публикация).

Изучение данного предметного курса завершается итоговой конференцией с выставкой творческих работ учащихся.

Предполагается проведение собеседований, анкетирования с целью мониторинга динамики интереса к изучению курса, интереса к будущей профессиональной сфере.

Курс является открытым, в него можно добавлять новые фрагменты, развивать тематику или заменять какие-либо разделы другими (в Приложении содержится разнообразная дополнительная информация, в том числе и исторические сведения).

Для учащихся, которые пока не проявляют заметной склонности к математике, эти занятии могут стать толчком в развитии интереса к предмету и вызвать желание узнать больше.

Элективный курс был апробирован на занятиях факультатива по математике в 9-х классах.

Результативность:

• учащиеся:
• успешно сдали экзамен по геометрии (без троек);
• улучшили результаты в районной олимпиаде по математике;
• создали и накопили видео-материалы, слайд-шоу о творческой и исследовательской деятельности по данной теме;
• смогли правильно оценить свой потенциал с точки зрения перспективы дальнейшего обучения в классах технологического и естественнонаучного профиля.

Трудоемкость: освоение новых отраслей знаний, синтезирование данных из отдельных наук – требует немалых усилий, временных затрат, высокой профессиональной подготовки учителя.

В конце изучения курса проводится анкетирование, позволяющее учащимся осознать, чем завершился для них данный курс.

Что узнал о себе, изучая курс?

Что изменил бы в курсе?

Какие формы учебных занятий понравились больше всего?

Приложение № 1

Учебно-тематический план

№ п/п	Наименование тем курса	Всего часов	В том числе			Формируемые виды деятельности
			лекция	практика	семинар
I.	Теорема Пифагора. Различные способы доказательства теоремы Пифагора Доказательства теоремы Пифагора, основанные на понятии площади. Алгебраический метод доказательства теоремы Пифагора.	2	0,5 0,5	0,5 0,5		Самостоятельно работать с большими объёмами учебной литературы; Понимать схемы, чертежи; Использовать альтернативные пути в поисках информации: Умение контролировать; Владеть техническими средствами; Ставить и решать проблемы; Обращаться за помощью к товарищам и старшим, воспользоваться ею
II.	Применения теоремы Пифагора. 3. Обратная теорема Пифагора. Пифагоровы числа. 4. Формула Герона. 5.Решение задач на применение теоремы Пифагора	3	1 1		1	Делать выводы, интегрировать и синтезировать информацию; Участвовать в решение сложных проблем; Применять идеи на практике; Рассуждать, строить гипотезы; Способность рисковать; Работать в команде; Развивать инженерные способности и стремление к ноу-хау.
III.	Обобщения теоремы Пифагора 6.Теорема Пифагора, доказанная Евклидом. Теорема косинусов. 7.Доказательство теоремы Пифагора через отношение подобных фигур. 8.Стереометрические обобщения теоремы Пифагора для тетраэдров и трехгранных углов.	3	0,5 0,5 0,5	0,5 0,5 0,5		Самостоятельно организовать свою деятельность и принимать максимально полную ответственность за неё; работать с большими объёмами информации; Быстро принимать решения в сложных ситуациях; Искать правильный путь в самых запутанных условиях. Способность к преобразованию; Оценивать процесс, его результат, предвидеть его последствия;
IY.	Итоговое занятие	2			2	Ставить и решать проблемы; Общаться с разными людьми; Рассуждать, строить гипотезы; Выполнять творческие работы и проекты; Защищать творческие работы и проекты.

Всего: 10 часов

Приложение № 2

Учебно-методическое обеспечение курса

Литература для учителя

1. Глейзер Г.И. История математики в школе. М.,1964 г.
2. Скопец З.А. Геометрические миниатюры М.,1990 г..
3. Еленьский Ш. По следам Пифагора. М., 1960 г..
4. Александров А.Д. “Геометрия 7-9” М.: Просвещение, 2000г.
5. Руденко В.Н., Бахурин Г.А. “Геометрия 7-9”. М.: Просвещение, 2000 г
6. Учебное электронное издание “Математика 5-11 классы. Практикум”,2002 г.
7. Атанасян Л.С.,.Бутузов В.Ф,.Глазков Ю.А, “Геометрия 7-9” М.: Просвещение, 2004
8. Зив Б.Г. Задачи к урокам геометрии,7-11 классы,Санкт-Петербург,1996 г.
9. Журнал “Завуч”, “Все о 120 стандартах перспективных работ на рынке труда” № 3 - 6,8, 2000г, №1,2 ,2001г.
10. Газеты “Математика”, журналы “Математика в школе” за 2000-2006 г.
11. И.С. Петраков “Математические кружки” - М., Просвещение, 1987.
12. К.А. Малыгин “Элементы историзма в преподавании математики в средней школе”. М., Просвещение, 1980.

Приложение № 3

Литература для учащихся

1. Александров А.Д., Вернер,А.Л, Рыжик В.И. Геометрия 8-9 –М:.Просвещение,1991г.
2. Атанасян Л.С.,.Бутузов В.Ф,.Глазков Ю.А, “Геометрия 7-9” М.: Просвещение, 2004
3. Погорелов,А.В. Геометрия: учебник для 7-11 классов.- М.:Просвещение,1991 г.
4. Энциклопедический словарь юного математика.- М.: Педагогика,1989 г.
5. История математики" (http://home.uic.tula.ru/~s991320/history.html).
6. "История Древнего мира" С.Нефёдов (http://hist1.narod.ru/DM/index.htm).
7. Планиметрия" (http://fio.ifmo.ru/archive/group13/c2wu5/).
8. "PERGAM. Античная литература." (http://pergam.chat.ru/index.html),
9. "Люди" (http://www.peoples.ru/),Терентьев А. В.
10. 2СD-Большая энциклопедия Кирилл и Мефодий.,2001
11. Учебное электронное издание “Математика 5-11 классы. Практикум”,2002
12. Газета "Математика" приложение к газете "1 сентября", "По следам Пифагора",№ 2, 2002.
13. Ван-дер-Варден Б.Л. Прбуждающаяся наука.Математика древнего Египта, Вавилона и Греции.М.,1959
14. Глейзер Г.И. История математики в школе.М.,1964
15. Еленьский Ш., По следам Пифагора.М.,1961
16. Скопец З.А.Геометрические миниатюры. М., 1990