Преподавание математики

Элективный курс Метод координат в пространстве

Пояснительная записка

Векторный и координатный методы решения задач – очень популярный и эффективный метод в геометрии и не только. Однако его формальное применение может значительно затруднить решение даже самой простой задачи. Общий уровень геометрической (особенно стереометрической) подготовки выпускников по-прежнему остается достаточно низким. Поэтому в данном курсе рассматриваются эффективные приемы использования указанных методов и примеры решения задач. Координатный метод решения задач на сегодняшний день самый мощный и при правильном подходе позволяет решить фактически все виды математических, физических, астрономических и технических задач. Кроме того, координатный метод в рамках школьной программы используется достаточно ограниченно и неполно.

Данный элективный курс предназначен для выпускников средних общеобразовательных учреждений.

Целью курса является разработка методики обучения векторно-координатному методу решения задач школьного курса геометрии 10-11 класса. Достаточно простой в применении, метод координат является необходимой составляющей решения задач различного уровня. Использование данного метода, позволяет учащимся значительно упростить и сократить процесс решения задач, что помогает им при дальнейшем изучении, как школьного курса математики, так и при изучении математики в высших учебных заведениях. С помощью векторно-координатного метода можно быстро и успешно решать стереометрические задачи из ЕГЭ в блоке С (задание С2).
В рамках данного элективного курса рассматриваются типовые задачи ЕГЭ – С 2, их решение с помощью координатно-векторного метода.

Координатно-векторный метод имеет преимущества перед другими, что не требует сложных построений в проекциях. По той простой причине, что этот метод заключается во введении (привязке к исследуемым фигурам) декартовой системы координат, а затем – исчислении образующихся векторов (их длин и углов между ними), то есть одно без другого не работает. Этот метод – довольно мощный (то есть ему поддаются даже самые «непробиваемые» казалось, бы задачи). Все те соотношения, которые при решении традиционным методом даются с большим трудом (через привлечение большого количества вспомогательных теорем), здесь получаются как бы сами собой, в ходе вычислений. Весь этот подход, развитый до своего логического завершения, в высшей математике получает название аналитической геометрии.

Единственный его, пожалуй, недостаток – это требуемый нередко большой объем вычислений. Координатно-векторный метод представлен практически во всех учебниках, но большее внимание ему уделено в задачнике Потоскуева Е.В. и Звавича Л.И.

Задачи элективного курса:

• формирование понятия вектора как направленного отрезка, умений применения вектора к решению простейших задач;
• обобщение изученного в базовой школе материала о векторах на плоскости, систематизация сведений о действиях с векторами в пространстве;
• формирование умений применять координатный и векторный методы к решению задач на нахождение углов между прямыми, прямыми и плоскостями, плоскостями в пространстве;
• формирование умений применять координатный и векторный методы к решению задач на нахождение расстояний от точки до плоскости, между двумя прямыми, от точки до прямой;
• формирование устойчивого интереса к математике у учащихся, имеющих к ней склонности; и развитие их математических способностей;
• формирование умений решать задачи, отвечающие требованиям для поступающих в вузы, где математика является одним из профилирующих предметов;
• овладение конкретными математическими знаниями, необходимыми для применения в практической деятельности;
• формирование представлений о математике как части общечеловеческой культуры, понимание значимости математики для научного прогресса;
• развитие логического мышления, обогащение и расширение математического кругозора учащихся.

Требования к уровню усвоения курса

В результате изучения данного курса учащийся должен владеть следующими компетенциями:

• Освоить определённый набор приёмов векторного и координатного методов решения геометрических задач и уметь применять их при решении задач.
• Владеть основными принципами математического моделирования, умением выполнять необходимые эскизы к решаемым задачам.
• Приводить полные обоснования при решении задач, используя при этом изученные теоретические сведения, необходимую математическую символику.

Ключевые компетенции, общеучебные и интеллектуальные навыки

• Информационная компетенция
  • Владеть всеми видами чтения (ознакомительное, просмотровое, поисковое и др.), пользоваться аналитическим и объяснительным чтением.
  • Работать с основными компонентами учебной литературы (оглавление, вопросы, задания, словарь, приложения, иллюстрации, схемы, таблицы, сноски), извлекать из них нужную информацию.
  • Уметь критически воспринимать свою и чужую речь, определять способы ее совершенствования, отделять основную информацию от второстепенной. Анализировать и рецензировать ответы товарищей, давать им оценку.
  • Уметь самостоятельно делать выводы и обобщения.
  • Уметь работать в Интернете, находить необходимую информацию.
• Учебно-познавательная компетенция
  • Уметь самостоятельно и мотивированно организовывать свою познавательную деятельность (от постановки цели до получения и оценки результата).
  • Уметь предвидеть возможные последствия своих действий. Определять проблемы своей деятельности. Находить и устранять причины возникших трудностей.
  • Владеть навыками организации и участия в коллективной деятельности: определить общую цель и установить средства ее достижения, конструктивно воспринимать иные мнения и идеи, учитывать индивидуальности партнеров по совместной деятельности, объективно определять свой вклад в общий результат.
  • Исследовать несложные реальные связи и зависимости. Определять сущностные характеристики изучаемого объекта; самостоятельно выбирать критерии для сравнения, сопоставления, оценки и классификации объектов.
• Коммуникативная компетенция
  • Уметь вести диалог в групповом взаимодействии, следовать этическим нормам и правилам ведения диалога.
  • Уметь развернуто обосновывать суждения, давать определения. Объяснять изученные положения на самостоятельно подобранных конкретных примерах.

Формы контроля: домашние контрольные работы, зачеты.

Организация учебного процесса

Программа рассчитана на одно полугодие, один час в неделю (всего 17 часов). Она состоит из двух разделов и содержит систему понятий из областей: векторы и координаты в пространстве, углы между прямыми, прямыми и плоскостями, плоскостями в пространстве, расстояние от точки до плоскости, между двумя прямыми, от точки до прямой. Каждый из разделов состоит из отдельных пунктов, в которых разбираются типовые задачи и задачи более высокого уровня сложности, затем даются задания для самостоятельного решения.

Элективный предмет имеет практико-ориентированную направленность. Формы занятий разнообразны: семинары, практикумы, уроки-консультации. Отработка и закрепление основных умений и навыков осуществляется при выполнении практических заданий, тестов ЕГЭ прошлых лет. В рамках данного курса предполагается углубленное изучение вопросов, предусмотренных программой основного курса. Углубление реализуется на базе изучения некоторых тем, учитывающих перспективы создания новых стандартов школьного математического образования в профильной школе.

В преподавании данного курса важным является выбор рациональной системы методов и приемов обучения. Учебный процесс ориентирован на рациональное сочетание устных и письменных видов работы. Программа построена с учетом принципов системности, научности, доступности и обеспечивает выполнение обязательных требований государственных стандартов.

ПРОГРАММА

I. Векторы и координаты (4 часа)

• Понятие вектора. Действия над векторами. Угол между векторами. Координаты вектора. Длина вектора. Скалярное произведение векторов.
• Понятие базиса в пространстве. Векторы в пространстве. Разложение вектора по трём некомпланарным векторам.
• Матрица. Определители. Уравнение плоскости, проходящей через три точки. Нормальный вектор плоскости.

II. Основы аналитической геометрии (13 часов)

• Скрещивающиеся прямые. Угол между прямыми в пространстве.
• Угол между плоскостями.
• Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве. Общие точки прямой и плоскости. Угол между прямой и плоскостью.
• Расстояние от точки до плоскости в координатах.
• Расстояние между двумя прямыми.
• Расстояние от точки до прямой.

Учебно-тематический план

Литература:

1. Александров А.Д. и др. Геометрия для 10-11 классов: Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики – М.: Просвещение, 1992
2. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия: Учебник для 10-11 кл. ср. шк. – М.: Просвещение, 2009
3. Борзенко Е.К., Корнева И.Г. Решение стереометрических задач: Методические рекомендации. – Бийск: РИО БПГУ им. В.М. Шукшина, 2005.
4. Геометрия 10-11 кл.: учеб. для ест.-научного профиля. Под ред. Смирновой И.М.– М.: Просвещение, 2003.
5. ЕГЭ-2011. Математика: типовые экзаменационные варианты: 30 вариантов / под ред. А. Л. Семенова, И. В. Ященко. – М.: Национальное образование, 2010. (ЕГЭ-2011. ФИПИ – школе).
6. Единый государственный экзамен: Математика: Сборник заданий. – М.: Просвещение, 2005
7. Математика. Диагностические работы в формате ЕГЭ. – М.: МЦНМО, 2011.
   Математика: ЕГЭ 2011: Контрольные тренировочные материалы с ответами и комментариями (Серия «Итоговый контроль: ЕГЭ») / Ю. М. Нейман, Т. М. Королёва, Е. Г. Маркарян. – М.; СПб.: Просвещение, 2011
8. Потоскуев Е. В., Звавич Л. И. Геометрия 11 кл.: задачник для общеобразовательных учреждений с углубл. и профильн. изучением математики. – М.: Дрофа, 2004
9. Сборник конкурсных задач по математике для поступающих во втузы / Под ред. М.И. Сканави. – СПб., 1995
10. Смирнов В. А. ЕГЭ 2011. Математика. Задача С2. Геометрия. Стереометрия / Под ред. А. Л. Семенова и И.В.Ященко. – М.: МЦНМО, 2011.
11. Холева, О. В. Нахождение углов между прямыми и плоскостями (координатно-векторный метод)// Математика в школе. – 2011. – №4.
12. Интернет-ресурсы.