При пересечении какой-либо поверхности Ф с плоскость Σ получается некоторого вида плоская фигура, называемая сечением q : q = Ф ∩ Σ.
Если поверхность Ф многогранная, то ее сечение q плоская ломаная линия.
Если поверхность Ф кривая, то ее сечение q плоская кривая, проекции которой строят по отдельным точкам.
Сначала строят опорные точки кривой q:
Затем дополнительно строят случайные (промежуточные) точки кривой q .
Если секущая плоскость Σ проецирующая, то на той плоскости проекций, которой она перпендикулярна, линия q вырождается в отрезок прямой линии.
Задача 1. Построить сечение пирамиды плоскостью Σ ┴ Π1 (рис.1).
Рисунок 1
Решение. Сечение q – ломаная линия. Ее вершины 1, 2, 3 – точки пересечения ребер пирамиды с плоскостью Σ : 1=SА ∩ Σ, 2= SВ ∩ Σ, 3= SС ∩ Σ ; q2 ≡ Σ2, т.к. Σ ┴ Π2 ; отмечаем точки 12, 22, 32 и строим 11 принадлежащую S1A1, 21 принадлежащую S1В1, 31 принадлежащую S1С1. Соединяем построенные точки с учетом их видимости. Т.к. грань SACотносительно плоскости проекций Π1 невидима, то отрезок 1-3 (11 - 31) тоже невидим.
Задача 2. Построить сечение тора Ф плоскостью Σ ┴ Π2 (рис.2).
Решение. q = Ф ∩ Σ, q – плоская кривая; q2 = Σ 2, т.к. Σ ┴ Π2; q2 – отрезок А2В2, q1– кривая. Строим проекции точек q по их принадлежности соответствующим линиям поверхности тора.
Опорные точки кривой q следующие:
Рисунок 2
Алгоритм построения
1. Через 12, 22 провести фронтальную проекцию p2 параллели p: I2, I2´ принадлежат p2;
2. Построить горизонтальную проекцию p1 параллели p: окружность радиуса R;
3. Построить I1, I1´ принадлежат p1.
Остальные точки строятся так же.
Все точки кривой q относительно Π1 видимые.
Линии видимости относительно Π2 – m(m1).
В сечении могут быть получены следующие линии:
Рисунок 3
В сечении всегда получается окружность (рис.4).
Рисунок 4
В сечении могут быть получены все виды плоских алгебраических кривых второго порядка:
Рисунок 5
Рисунок 6
Рисунок 7
или две образующие, если секущая плоскость Σ (Σ2) проходит через вершину S(S2) конуса (рис.8).Рисунок 8
В пространстве даны прямая a и поверхность Ф. Определить точки M и N пересечения прямой a и поверхности Ф: M,N = a∩Ф (рис.9). M и N – общие точки прямой a и поверхности Ф, т.е. M и N принадлежат прямой a , M и N принадлежат Ф. Если M и N принадлежат поверхности Ф, то они принадлежат какой-либо линии q, принадлежащей этой поверхности.
Рисунок 9
Линия q может быть получена как линия пересечения поверхности Ф и вспомогательной плоскости Σ, проведенной через прямую a : q = Ф∩ Σ.
Точки M и N принадлежат и прямой a, и линии q, т.е. являются точками их взаимного пересечения: M, N = a∩ q.
Вспомогательную плоскость Σ через прямую a проводят так, чтобы она пересекала поверхность Ф, по возможности, по графически простой линии q, проекциями которой были тоже графически простые линии.
В общем случае q плоская кривая. Для построения ее проекций определяют некоторое количество точек – опорных и случайных (см. задачу 2, рис.2).
Алгоритм решения задачи
Задача. Определить точки пересечения прямой a и поверхностью тора Ф.
Решение дано на комплексном чертеже (рис.10):
Рисунок 10
Следует отметить, что для решения задачи на пересечение прямой с плоскостью общего положения и с поверхностью (рис.9, 10) используется один и тот же алгоритм.