Математика
Физика
Химия
География
Биология
Экология
Информатика
Экономика
Русский язык
Литература
Музыка
МХК и ИЗО
ОБЖ
История и
 обществознание

Иностранные языки
Спорт и здоровье
Технология
ТОП 20 статей сайта
Рекомендуем посетить

Преподавание информатики

Программируем фрактал на ЛОГО

Добавлено: 2015.04.23
Просмотров: 301

Куликова Марина Кимовна, учитель информатики

Задумывая представленное занятие, преследовала цели:

Задачи:

Основа каждого занятия должна быть интересна учащимся, чтобы увлекать их; выполнима, решение её должно быть получено участниками исследования; оригинальна, в ней необходим элемент неожиданности, необычности; доступна, т.е. тема должна соответствовать возрастным особенностям учащихся.

Как мне кажется, тема представленная в данной работе интересна, оригинальна, необычна, выполнима.

Начать занятие можно с небольшого видеофрагмента «Гармония фракталов», если удастся найти в сети «Интернет». Можно ограничиться показом презентации с разнообразными примерами фрактальных изображений (Презентация 1).

Что, скажите, привнес компьютер в нашу жизнь нового, неведомого до него? Наряду со многим, что может легко перечислить всякий, он позволил нам увидеть фракталы. Это модное понятие взрывообразно шагает по планете, завораживая своей красотой и таинственностью, проявляясь в самых неожиданных областях: метеорологии, философии, географии, биологии, механике и даже истории. Если мы зададим слово «фрактал» в любом поисковике, то придем к мысли, что Рунет создавался для фракталов.

Кто придумал "фрактал"?

Первые идеи фрактальной геометрии возникли в XIX веке. Кантор с помощью простой рекурсивной (повторяющейся) процедуры превратил линию в набор несвязанных точек (так называемая Пыль Кантора). Он брал линию и удалял центральную треть и после этого повторял то же самое с оставшимися отрезками.

Красота фракталов

Почему же фракталы так красивы? Так сказочно, обворожительно, волнующе фантастически красивы. Математика вся пронизана красотой и гармонией, только эту красоту надо увидеть. Вот как пишет сам Мандельброт в своей книге "The Fractal Geometry of Nature"

А описание предмета фрактальной геометрии дал ее создатель Бенуа Мандельброт в своей книге «Фрактальная геометрия природы»: «Почему геометрию часто называют «холодной» и «сухой»? Одна из причин состоит в ее неспособности описать форму облака, горы, береговой линии или дерева. Облака – не сферы, горы – не конусы, береговые линии – не окружности, древесная кора не гладкая, молния распространяется не по прямой. Я утверждаю, что многие природные объекты настолько иррегулярны и фрагментированы, что по сравнению со стандартной геометрией Евклида природа обладает не просто большей сложностью, а сложностью совершенно иного уровня».

Гармония природы

Стихотворение Николая Заболоцкого, опубликованное в 1947 году, начинается такими строками:

Я не ищу гармонии в природе.
Разумной соразмерности начал
Ни в недрах скал, ни в ясном небосводе
Я до сих пор, увы, не различал.

Как своенравен мир ее дремучий!
В ожесточенном пении ветров
Не слышит сердце правильных созвучий,
Душа не чует стройных голосов.

В 1922 году английский математик и метеоролог Люис Фрай Ричардсон (1881-1953) опубликовал работу, посвященную математическим моделям предсказания погоды. В которой, между прочим, пародировал стихи Джоната Свифта:

Блох больших кусают блошки,
Блошек тех - малютки-крошки,
И нет конца тем паразитам,
Как говорят, ad infinitum.

(«Ad infinitum» в переводе с латыни – «до бесконечности». Это четверостишие вполне может служить описанием фрактала)

Ричардсон обратил внимание на то, что в «ожесточенном пении ветров» есть порядок. При исследовании турбулентности (хаотичесикх вихрей) воздушных потоков он обнаружил каскад энергии – от больших вихрей к малым, то есть своеобразную гармонию: маленькие вихри возникают внутри больших и как бы повторяют их форму и поведение.

История фракталов началась с геометрических фракталов, которые исследовались математиками в XIX веке. Фракталы этого класса — самые наглядные, потому что в них сразу видна самоподобность.

В двухмерном случае такие фракталы можно получить, задав некоторую ломаную, называемую генератором. За один шаг алгоритма каждый из отрезков, составляющих ломаную, заменяется на ломаную-генератор, в соответствующем масштабе. В результате бесконечного повторения этой процедуры (а точнее, при переходе к пределу) получается фрактальная кривая. При видимой сложности полученной кривой, её общий вид задаётся только формой генератора.

Примерами таких кривых служат: кривая Пеано, Снежинка Коха, Лист, Треугольник, ковер Серпинского, драконова ломаная.

Области применения фракталов

В компьютерной графике это используется при создании изображений сложных, похожих на природные, объектов: например, облаков, снега, мусорных куч, береговых линий и др.

Генерация изображений природных объектов

Геометрические фракталы применяются для получения изображений деревьев, кустов, береговых линий и т. д. Алгебраические и стохастические — при построении ландшафтов, поверхности морей, карт раскраски, моделей биологических объектов и др.

Механика жидкостей

Фракталами хорошо описываются следующие процессы, относящиеся к механике жидкостей и газов: динамика и турбулентность сложных потоков; моделирование пламени; изучение пористых материалов, в том числе в нефтехимии.

Биология

Моделирование популяций; биосенсорные взаимодействия; процессы внутри организма, например, биение сердца.

Литература

Среди литературных произведений находят такие, которые обладают текстуальной, структурной или семантической фрактальной природой. В текстуальных фракталах потенциально бесконечно повторяются элементы текста неразветвляющееся бесконечное дерево, тождественные самим себе с любой итерации («У попа была собака…», «Притча о философе, которому снится, что он бабочка, которой снится, что она философ, которому снится…», «Ложно утверждение, что истинно утверждение, что ложно утверждение…») неразветвляющиеся бесконечные тексты с вариациями («У Пегги был веселый гусь…») и тексты с наращениями («Дом, который построил Джек»). В структурных фракталах схема текста потенциально фрактальна венок сонетов (15 стихотворений), венок венков сонетов (211 стихотворений), венок венков венков сонетов (2455 стихотворений) «рассказы в рассказе» («Книга тысячи и одной ночи», Я.Потоцкий «Рукопись, найденная в Сарагоссе») предисловия, скрывающие авторство (У.Эко «Имя розы»)

Фрактальные антенны

Использование фрактальной геометрии при проектировании антенных устройств было впервые применено американским инженером Натаном Коэном, который тогда жил в центре Бостона, где была запрещена установка на зданиях внешних антенн. Натан вырезал из алюминиевой фольги фигуру в форме кривой Коха и наклеил её на лист бумаги, а затем присоединил к приёмнику. Оказалось, что такая антенна работает не хуже обычной. И хотя физические принципы работы такой антенны не изучены до сих пор, это не помешало Коэну основать собственную компанию и наладить их серийный выпуск.

Программируем фрактал на ЛОГО.

В последние 20 лет фракталы стали очень популярны. Природа зачастую создаёт удивительные и прекрасные фракталы, с идеальной геометрией и такой гармонией, что просто замираешь от восхищения. Многие объекты в природе обладают фрактальными свойствами, например, побережья, облака, кроны деревьев, морские ракушки, снежинки, молния, кровеносная система и система альвеол человека или животных и многое др. Фракталы, особенно на плоскости, популярны благодаря сочетанию красоты с простотой построения при помощи компьютера.

Не углубляясь в длинные математические вычисления или сложные эксперименты, на простых примерах можно продемонстрировать фантастически замысловатую природу геометрических построений, реализовать некоторые примеры при помощи одного из наиболее простых языков программирования – Лого.

Написанием программ, с помощью которых мы получаем с учащимися наши первые фрактальные изображения мы занимаемся после того, как освоим основные алгоритмичесие конструкции и познакомимся с понятием параметра.

Кривая Коха будет получена после написания следующей программы:

to koh :d

ifElse :d>4 [koh :d/3] [fd :d]
lt 60
ifElse :d>4 [koh :d/3] [fd :d]
rt 120
ifElse :d>4 [koh :d/3] [fd :d]
lt 60
ifElse :d>4 [koh :d/3] [fd :d]

end

Фрактальные деревья экспериментально были получены после выполнения таких программ:

to pif :d

fd :d
rt 30
ifElse :d>5 [pif :d/1.4] [

fd :d/2
bk :d/2

]
lt 60
ifElse :d>5 [pif :d/1.4] [

fd :d/2
bk :d/2

]
rt 30
bk :d

end

to pif1 :d

fd :d
rt 30
ifElse :d>5 [pif1 :d/1.4] [

fd :d/2
bk :d/2

]
lt 60
ifElse :d>5 [pif1 :d/1.2] [

fd :d/2
bk :d/2

]
rt 30
bk :d

end

to pif2 :d

fd :d
rt 10
ifElse :d>5 [pif2 :d/1.4] [

fd :d/2
bk :d/2

]
lt 20
ifElse :d>5 [pif2 :d/1.4] [

fd :d/2
bk :d/2

]
rt 10
bk :d

end

to pif3 :d

fd :d
rt 50
ifElse :d>4 [pif3 :d/1.4] [

fd :d/2
bk :d/2

]
lt 60
ifElse :d>4 [pif3 :d/1.4] [

fd :d/2
bk :d/2

]
rt 10
bk :d

end

to pif4 :d

fd :d
rt 30
ifElse :d>5 [pif4 :d/1.4] [

fd :d/2
bk :d/2

]
lt 60
ifElse :d>5 [pif4 :d/1.4] [

fd :d/2
bk :d/2

]
rt 30
setPC (list :d*190/:k 255-:d*200/:k 0)
bk :d

end

to pif5 :d :f

setPenSize [1 1]
fd :d
rt 30
ifElse :d>5 [pif5 :d/1.4 :f/1.4] [

fd :d/2
setPenSize (list :f/1.4 :f/1.4)
setPC (list :d*190/:k 255-:d*200/:k 0)
bk :d/2

]
lt 60
ifElse :d>5 [pif5 :d/1.4 :f/1.4] [

fd :d/2
setPenSize (list :f/1.4 :f/1.4)
setPC (list :d*190/:k 255-:d*200/:k 0)
bk :d/2

]
rt 30
setPenSize (list :f :f)
setPC (list :d*190/:k 255-:d*200/:k 0)
bk :d

end

Завершая занятие, предлагаю учащимся продолжить эксперименты с полученными программами и рассказываю о таком программном обеспечении для генерации фракталов, как Apophysis, c которым мы будем работать на следующем занятии.


x